普安卡雷发现了什么？什么是拓扑学？

几何学能解决力学问题？

2023-02-08海盗科学

数学家们发现，即使你根本就写不出一个方程式，但是，具体设置一个解式则是可能的。这种思想大约在1900年伟大的法国数学家亨利•普安卡雷（1854～1912）所进行的天文学研究中得到印证，他的发现成为混沌的第一批发现之一。

尽管普安卡雷在获得发现之后就没有取得应该取得的成果，但是他为研究动力系统提出了一种有效的新方法。这种方法建立在一种新的几何学的基础上，他把这种方法称为定点分析（analysissitus），但是我们现在将其称作拓扑学：连续过程的解析几何。

普安卡雷发现了什么？什么是拓扑学？几何学能解决力学问题？© 由 中关村在线 提供

普安卡雷没有将注意力死盯在解式的公式上，而是设想了一个多维的空间，这个空间中的坐标就是系统的变量。空间的每个点代表了一整个坐标，也就是确定所有变量的值的数字。系统的每个可能状态都与相的空间的每个点相一致。

按照力学原理，随着时间的推移，时间发生变化。具有代表意义的点移动，在相的空间上形成曲线，动力过程的解式由曲线来表示。将这些曲线集中在一起就会得出综合的情况。

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这个在一个几何图形上显示的相图不仅能显示出系统的情况，而且能做所有能够做的事情。人们经常不需要为解式找出公式，而经常可以在相图上就能进行确定，得到整体量的变化，因为通过研究相图的几何学就能解决力学上的问题。

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几乎我们所有的对于动力系统的理解都是通过这种几何学方法进行的。比如，意大利数学家推托•维尔特拉（1860～1940）为地中海的以捕食其他鱼为生的鱼和食物鱼的数量设计了一个简单的模型。他试图用这个模型对生物学家乌姆伯托•德•安考纳好奇的观察作出解释；在第一次世界大战期间，当捕鱼量下降时，捕获物中以捕其他鱼为生的鱼的比例更大。

维尔特拉发现了这种现象的原因：数量的变化是具有波动周期的，如果数量平均的话，在一定程度上，就对以捕其他鱼为生的鱼有利。